Острые углы. Отношения


Острые углы.: Отношения

Свойство. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0

Свойство. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0 , равен половине гипотенузы.

Теорема. Два прямоугольных треугольника равны, если катеты одного равны катетам другого.

Теорема. Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет одного равны гипотенузе и катету другого.

Теорема. Два прямоугольных треугольника равны, если острый угол и сторона одного равны острому углу и стороне другого.

Теорема Пифагора

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Соотношение углов и сторон прямоугольного треугольника

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Важные значения! ИХ ОБЯЗАТЕЛЬНО ЗАПОМНИТЬ!

Высота прямоугольного треугольника, проведенного из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Острые углы характера

Беседуя по телефону (или участвуя в заседаниях — совещаниях), мы нередко, не отдавая себе в том отчета, начинаем выводить на листке бумаги узоры, рожицы или геометрические фигуры. Не спешите выбрасывать свои художества! Как считают зарубежные психологи, каракули могут немало рассказать о вашем характере или настроении.

Спирали, круги, волнистые линии
Чужие проблемы не слишком вас заботят или вообще не интересуют. Все ваше внимание в настоящий момент сосредоточено на собственной персоне. Если вы заметили, что начинаете рисовать спирали, имейте в виду: сейчас вам необходимо особо следить за собой, чтобы не вспылить и не нанести собеседнику оскорбление.

Цветочки, солнце, гирлянды
На душе у вас вовсе не так радостно, как это может показаться, скорее наоборот. Вы больше всего мечтаете о дружбе и нежности, а слова, которые вертятся на языке, невольно переносите на бумагу: «Обратите на меня внимание!» Если ваша рука начинает выводить цветочки, поспешите навестить друзей.

Сетки
Скорее всего Вы попали в неловкое положение. Каждая решительная, жирная линия — это атака, которую вы не решаетесь предпринять. Если под конец вы обведете свой рисунок — это значит, что с проблемой покончено, по крайней мере внешне. Вы склонны проглатывать обиду. А это таит в себе опасность: в душе накапливается разочарование.

Узоры, как на обоях
Острые углы и плавные овалы соединяются в мотив, повторяющийся до бесконечности. Такой узор говорит о том, что вам скучно, надоел телефонный разговор, а может быть, вообще весь ваш образ жизни. Разрушьте однообразие, которое действует на вас угнетающе.

Кресты
Они встречаются довольно часто. Женщины придают им вид украшений, у мужчин они более строгих очертаний. В обоих случаях кресты выражают чувство вины, возникшее скорее всего в ходе телефонного разговора. Что-то вас тяготит: или вы себя укоряете сами, или вас упрекнул собеседник. Надо постараться найти истину.

Человечки
Пусть их веселый вид не вводит вас в заблуждение. Это изображение — признак беспомощности или желания уклониться от какой-то обязанности. Люди обычно рисуют человечков в момент, когда им следовало бы сказать решительное «нет», но они не могут заставить себя произнести это слово. Так что человечка надо воспринимать как предупреждение и сказать себе: «Не сдавайся! Откажись, иначе потом будешь сокрушаться из-за собственной слабости!»

Квадраты, треугольники и другие геометрические фигуры
Ясно одно: вас легко не проведешь. У вас четкие цели и убеждения, вы почти никогда не скрываете своего мнения и редко испытываете страх перед своими противниками и конкурентами. Чем более угловаты геометрические формы, тем более вы агрессивны, хоть внешне это и не всегда заметно. Постарайтесь смотреть на вещи проще.

Пчелиные соты
Они говорят о стремлении к спокойствию, гармонии, к упорядоченной жизни. Они могут означать и желание создать семейное гнездо. Вероятно, ваша проблема — в нежелании признать перед самим собой существование такой мечты.

Шахматные поля
По-видимому, вы оказались в весьма неприятном или по крайней мере затруднительном положении. Вы мечтаете о ясном и надежном пути, который выведет вас из него. В данный момент не следует что-либо скрывать или замалчивать. Если такие изображения появляются часто, то вы, вероятнее всего, страдаете от скрытых комплексов.

Острые углы отношений

Читайте также:

Подготовка к воспитанию)

Хоть я еще и в ожидании малыша, но уже есть мысли о том, как и чему учить малыша? Моим воспитанием, до 6 лет занималась бабушка, т.к. я росла без отца, мать постоянно работала и занималась построе.

Малютка с острыми зубами

Моей дочке — 1 год и 4 месяца. Мы давно ходим, много гуляем, любим книжки, кастрюльки, обниматься . И ничего бы не омрачало прекрасное существование, если бы ни острые зубы малютки. Сейчас у н.

Ребёнок с характером. Как построить отношения с ребенком, чтобы избежать истерик и капризов.

Здравствуйте. Это моя первая запись в дневнике и на животрепещущую тему. У меня дочь 2,5 года. Довольно упрямое, упёртое, целеустремлённое создание с несгибаемой волей, как и все сегодняшние дети.

Есть ли секс после родов


Этот вопрос меня начал волновать еще, будучи беременной. Скука в спальне нарастает прямо пропорционально количеству прожитых лет. Уже нет изнывающего желания, пылкости в отношениях. Появление ребен.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме «Тригонометрия» на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Тригонометрия
в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет


Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности — это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого «тригонометрического круга», то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α — тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :


A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 cos α 1 3 2 2 2 1 2 0 tg α 0 3 3 1 3 нет ctg α нет 3 1 3 3 0

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Звёздный стиль - женский сайт